Kamis, 15 Maret 2012
03.46 | 
Diposting oleh
Kintanyulanda
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perkembangan
Teknologi Digital saat ini yang semakin maju. Masyarakat saat ini telah
terpesona oleh komputer dan kalkulator modern. Ini mungkin karena mesin
tersebut menghasilkan fungsi aritmatika dengan ketelitian dan kecepatan yang
sangat menakjubkan. Bab ini membicarakan beberapa rangkaian logika yang dapat
menjumlahkan dan mengurangkan, penambahan dan pengurangan dikerjakan dalam
biner. Gerbang logika biasa akan kita rangkai satu sama yang lain untuk
menghasilkan penambahan dan pengurangan.
Tujuan
· Mahasiswa
dapat membentuk bilangan biner bertanda dari bilangan desimal positif dan
negatif
· Mahasiswa
dapat melakukan operasi penjumlahan bilangan-bilangan biner bertanda dengan
bentuk-bentuk complement
· Dapat
memahami operasi logika, gerbang logika, serta aljabar boolean
BAB II
PEMBAHASAN
1.
Sistem digital
Sistem Digital adalah suatu sistem yang berfungsi
untuk mengukur suatu nilai yang bersifat tetap atau tidak teratur dalam bentuk
diskrip berupa digit-digit atau angka-angka. Contohnya bilangan integer dan
pecahan.
1.1 Gerbang
Logika
Gerbang
logika adalah rangkaian dengan satu atau lebih dari suatu sinyal masukan tetapi
hanya menghasilkan satu sinyal berupa tegangan tinggi atau tegangan rendah
dikarenakan analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka
gerbang logika sering juga disebut rangkaian logika. Gerbang logika merupakan
dasar pembentukan sistem digital. Gerbang logika beroperasi dengan bilangan
biner, sehingga disebut juga gerbang logika biner.
LOGIKA :
Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak
dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus.
Dalam logika dikenal aturan sbb :
Ø Suatu keadaan tidak
dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus
Ø Masing-masing
adalah benar / salah.
Ø Suatu keadaan
disebut benar bila tidak salah.
Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan
dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’. Operasi-operasi dasar logika dan
gerbang logika :
Pengertian GERBANG (GATE) :
Ø Rangkaian
satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran.
Ø Rangkaian
digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa
tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ).
Ø Setiap keluarannya
tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan-masukannya.
Tegangan
yang digunakan dalam gerbang logika adalah tinggi atau rendah. Tegangan tinggi
berarti 1, sedangkan tegangan rendah berarti 0. Ada 7 gerbang logika yang kita
ketahui yang dibagi menjadi 2 jenis, yaitu:
a.
Gerbang logika
Inverter
Inveter ( pembalik ) merupakan gerbang logika dengan
satu sinyal masukan dan satu sinyal keluaran dimana sinyal keluaran selalu
berlawanan dengan keadaan sinyal masukan. Inveter juga disebut gerbang NOT atau
gerbang komplemen ( lawan ), disebabkan keluaran sinyalnya tidak sama dengan
sinyal masukan.
b. Gerbang logika NON-inverter
Berbeda dengan gerbang logika inverter yang sinyal
masukan hanya untuk gerbang logika
non-inverter sinyal masukannya ada dua atau lebih sehingga hasil ( output )
sinyal keluaran sangat tergantung oleh sinyal masukan dan gerbang logika yang
dilaluinya ( NOT, AND, OR, NAND, NOR, XO, XNO ).
Gerbang logika
NOT ( Invers )
Gerbang
NOT ini merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya à x = x’
Tabel
NOT
X
|
X’
|
0
|
1
|
1
|
0
|
Gerbang logika
AND
Ø Operasi antara dua
variabel (A,B)
Ø Gerbang AND ini akan
menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1
Gerbang logika OR
Operasi antara 2 variabel (A,B)
Gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah satu
dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 0, maka semua
masukan harus dalam keadaan 0. Gerbang OR akan memberikan sinyal keluaran
tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan bernilai tinggi, sehingga
dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal keluaran rendah jika
semua sinyalmasukan bernilai rendah.
Operasi antara 2 variabel (A,B)
Gerbang logika NOR
Gerbang NOR adalah suatu NOT-OR, atau suatu fungsi OR
yang dibalikan sehiingga dapat dikatakan bahwa gerbang NOR akan menghasilkan
sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal masukan bernilai rendah. Gerbang NOR
akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika
diinginkan keluaran 1, maka masukanya harus dalam keadaan 0.
Gerbang logika NAND
Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila semua
masukan pada logika 1. Sebaliknya jika sebuah logika 0 pada sembarang masukan
pada gerbang NAND, maka keluaran akan bernilai 1. Gerbang NAND adalah suatu
NOT-AND, atau suatu fungsi AND
yang
dibalikan. Dengan kata lain bahwa gerbang NAND akan menghasilkan sinyal
keluaran rendah jika sinyal masukan bernilai tinggi.
Gerbang logika EXOR
Gerbang EXOR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah
jika semua sinyal masukan bernilai rendah atau semua masukan bernilai tinggi
atau dengan kata lain bahwa EXOR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah
jika sinyal masukan bernilai sama semua. Gerbang EXOR akan memberikan keluaran
1 jika masukan-masukanya mempunyai keadaan yang berbeda
Gerbang logika EXNOR
Gerbang EXNOR ini akan menghasilkan
keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak
ada sama sekali.
1.2. Operasi
Logika
Sistem
Bilangan
a. Bilangan desimal
- Bilangan
Desimal terdiri atas 10 angka atau lambang, yaitu D = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9
- Sistem
bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 10 karena mempunyai 10
digit
- Ciri
suatu bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des atau 10 di akhir
suatu bilangan
Contoh:
357des = 35710 = 357
b. Bilangan Bulat
Desimal
- Representasi
bilangan bulat desimal m digit : (dm-1, … di, … , d1, d0) dengan di € D
- Sehingga
suatu bilangan desimal m digit akan mempunyai nilai:
- Contoh:
Bilangan 357
Digit 3 =
3x100 = 300 (Most Significant Digit, MSD) Digit 5 = 5x10 = 50
Digit 7 =
7x1 = 7 (Least Significant Digit, LSD) Jumlah = 357
c. Bilangan
Pecahan Desimal
- Representasi
Bilangan Pecahan Desimal: (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, ... , dn) dengan di € D
- Sehingga
suatu bilangan desimal pecahan akan mempunyai nilai:
- Contoh:
Bilangan 245,21
- Koma
desimal memisahkan pangkat positif dengan pangkat negatifnya. Bilangan 245,21
berarti
(2 X 10+2) +
(4 X 10+1) + (5 X 100) + (2 X 10-1) + (1 X 10-2)
d. Bilangan Biner
- Digit
bilangan biner disebut binary digit atau bit. Empat bit
dinamakan nibble. Delapan bit dinamakan byte. Sejumlah
bit yang terdiri dari karakter berupa huruf, angka atau lambang khusus
dinamakan word.
- Sistem
bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada sistem bilangan Ini
Hanya dikenal dua lambang, yaitu:
B = 0, 1.
B = 0, 1.
- Ciri
suatu bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin atau 2 diakhir suatu
bilangan. Contoh: 1010011bin = 10100112.
e. Bilangan Bulat
Biner
- Representasi
bilangan biner bulat m bit adalah sebagai berikut,
(bm-1, … bi, … , b1, b0) dengan bi € B
(bm-1, … bi, … , b1, b0) dengan bi € B
- Sehingga
suatu bilangan biner m bit akan mempunyai nilai:
- Bit
paling kiri dari suatu bilangan biner disebut bit paling berarti (Most
Significant Bit, MSB), sedangkan bit paling kanan disebut bit paling tidak
berarti (Least Significant Bit, LSB). Contoh : 101 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = 4 + 1
= 5
f. Bilangan
Pecahan Biner
- Representasi
bilangan biner pecahan: (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, ... , dn) dengan di € B
- Sehingga
suatu bilangan biner pecahan akan mempunyai nilai:
Contoh :
101,01 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 5,25
g. Konversi
Bilangan Biner Ke Desimal
- Contoh
bilangan bulat:
1010011 =1 X
26 + 0 X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 =64+0+16+0+0+2+1 =
83des
Contoh
bilangan pecahan:
111,01 = 1 X
22 + 1 X 21 + 1 X 20 + 0 X 2-1 + 1 X 2-2
= 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25
= 7,25des
= 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25
= 7,25des
h.Konversi
bilangan bulat desimal ke biner
Konversi
bilangan bulat desimal ke biner dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang
suatu bilangan desimal dengan 2. Sisa setiap pembagian merupakan bit yang
didapat
Contoh: Konversi 625des ke biner
625/2=312 1 (LSB)
312/2 = 156 0
156/2 = 78 0
78/2 = 39 0
39/2 = 19 1
19/2 = 9 1
9/2 = 4 1
4/2 = 2 0
2/2 = 1 0
1/2 = 0 1 (MSB)
Jadi 625des = 1001110001bin
i.Konversi
Bilangan Pecahan Desimal Ke Biner
Caranya :
Kalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 2. Bagian pecahan dari hasil
perkalian ini dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang hingga didapat hasil
akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan bit yang didapat.
Contoh:
Konversi 0,75 des ke Biner
0,75 X 2 =
1,50 sisa 1 (MSB)
0,50 X 2 =
1,00 1
0 X 2 = 0,00
0 (LSB)
Jadi 0,75des
= 0,110bin
j. Bilangan Bulat Oktal
Representasi
suatu bilangan oktal bulat m digit dalah sebagai berikut,
(om-1, … oi, … , o1, o0) dengan oi Î O Sehingga suatu bilangan oktal bulat m digit akan mempunyai nilai.
(om-1, … oi, … , o1, o0) dengan oi Î O Sehingga suatu bilangan oktal bulat m digit akan mempunyai nilai.
k.
Bilangan Pecahan Oktal
Representasi
bilangan pecahan oktal : (om-1, … oi, … , o1, o0, o-1, ... , on) dengan
oi Î O Sehingga suatu bilangan oktal pecahan akan mempunyai
nilai.
l. Konversi Bilangan Oktal ke Desimal
Contoh
bilangan bulat:
1161okt =
625des
1161okt
Berarti :
= 1 X 83 + 1
X 82 + 6 X 81 + 1 X 80
=
512+64+48+1
= 625des
Contoh
bilangan pecahan:
13,6okt =
11,75des
13,6okt
Berarti :
= 1 X 81 + 3
X 80 + 6 X 8-1
= 8 + 3 +
0,75
= 11,75des
m. Konversi Bilangan Desimal ke Oktal
Contoh Bilangan
Bulat :
625des =
1161okt
625 / 8 = 78
sisa 1 (LSB)
78 / 8 = 9 6
9 / 8 = 1 1
1 / 8 = 0 1
(MSB)
Contoh Bilangan
Pecahan :
0,1des =
0,063….okt
0,1 X 8 =
0,8 sisa 0 (MSB)
0,8 X 8 =
6,4 6
0,4 X 8 =
3,2 3 (LSB)
n. Konversi Bilangan Oktal ke Biner
Konversi
bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan konversi bilangan oktal
ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit biner
Contoh: 1161okt = 001001110001bin
Contoh: 1161okt = 001001110001bin
1 1 6 1
001 001 110
001
Contoh:
0,063okt = 0,000110011bin
0 6 3
000 110 011
o. Konversi Bilangan Biner ke Oktal
Contoh
Bilangan Bulat:
1001110001bin
= 1161okt
001 001 110
001
1 1 6 1
Contoh
Bilangan Pecahan:
0,000110011bin
= 0,063okt
000 110 011
0 6 3
p. Bilangan Heksadesimal
Merupakan
sistem bilangan basis enam belas. Penerapan format heksadesimal banyak
digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan
kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik.
Pada sistem
bilangan ini terdapat enam belas lambang, yaitu:
H = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
H = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ciri
bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks atau 16 di akhir
suatu bilangan. Contoh: 271heks = 27116
Bilangan
Bulat Heksadesimal.
Representasi
suatu bilangan heksadesimal bulat adalah sebagai berikut, (hm-1, … hi, … , h1,
h0) dengan hi € H Sehingga suatu bilangan heksadesimal m digit akan mempunyai
nilai:
1.3. Aljabar
Boolean
Aljabar boolean merupakan aljabar
yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik.
Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi
dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari
variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan
suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel
biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung.
Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel
kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka
biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang
memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti
luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh
George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar.
Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi
lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang
operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.
Ø Misalkan
terdapat
- Dua
operator biner: + dan ×
- Sebuah
operator uner: ’.
- B :
himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ×, dan ’
- 0
dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Ø Tupel
(B, +, ×, ’)
disebut aljabar Boolean jika
untuk setiap a, b, c Î B berlaku
aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure:
(i) a + b Î B
(ii) a × b Î B
2.
Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a × 1 = a
3.
Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a × b = b . a
4.
Distributif: (i) a × (b + c)
= (a × b) + (a × c)
(ii) a + (b × c) = (a + b) × (a + c)
5. Komplemen[1]:
(i) a + a’ = 1
(ii) a × a’ = 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar
Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen
himpunan B,
2. Kaidah
operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi
postulat Huntington.
Ø Aljabar
Boolean Dua-Nilai
Aljabar
Boolean dua-nilai:
- B =
{0, 1}
- operator
biner, + dan ×
- operator
uner, ’
- Kaidah
untuk operator biner dan operator uner:
a
|
b
|
a × b
|
a
|
b
|
a + b
|
a
|
a’
|
||
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
||
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
||
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
||||
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Cek apakah
memenuhi postulat Huntington:
1. Closure
: jelas berlaku
2. Identitas:
jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0 =
0 × 1 = 0
3. Komutatif:
jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif:
(i) a × (b + c) = (a × b)
+ (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator
biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
a
|
b
|
c
|
b + c
|
a × (b + c)
|
a × b
|
a × c
|
(a × b)
+ (a × c)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
(ii) Hukum distributif a +
(b × c) = (a + b) × (a + c)
dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama
seperti (i).
5. Komplemen:
jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘
= 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a × a =
0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ =
1 × 0 = 0
Karena kelima postulat
Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1}
bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘
merupakan aljabar Boolean.
Ø Ekspresi
Boolean
Misalkan (B, +, ×,
’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B,
+, ×, ’) adalah:
(i) setiap elemen
di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(ii) jika e1 dan e2 adalah
ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 × e2, e1’
adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a × b
a’× (b + c)
a × b’
+ a × b × c’ + b’,
dan sebagainya
Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas:
(i) a +
0 = a
(ii) a × 1
= a
|
2.
Hukum idempoten:
(i) a + a = a
(ii) a × a = a
|
3.
Hukum komplemen:
(i) a + a’
= 1
(ii) aa’ =
0
|
4.
Hukum dominansi:
(i) a × 0
= 0
(ii) a +
1 = 1
|
5.
Hukum involusi:
(i) (a’)’
= a
|
6.
Hukum penyerapan:
(i) a + ab = a
(ii) a(a + b)
= a
|
7.
Hukum komutatif:
(i) a + b = b + a
(ii) ab = ba
|
8.
Hukum asosiatif:
(i) a +
(b + c) = (a + b) + c
(ii) a (b c)
= (a b) c
|
9. Hukum distributif:
(i) a +
(b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c)
= a b + a c
|
10.
Hukum De Morgan:
(i) (a + b)’
= a’b’
(ii) (ab)’ = a’
+ b’
|
11. Hukum
0/1
(i) 0’ =
1
(ii) 1’ = 0
|
BAB III
PENUTUP
Sistem digital adalah suatu
sistem yang berfungsi untuk mengukur suatu nilai yang bersifat tetap atau tidak
teratur dalam bentuk diskrip berupa digit-digit
atau angka-angka. Contohnya bilangan integer dan pecahan.
Aturan dalam
logika
Ø Suatu keadaan tidak
dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus
Ø Masing-masing
adalah benar / salah.
Ø Suatu keadaan
disebut benar bila tidak salah.
Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan
dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’.
Ada 7
gerbang logika yang kita ketahui yang dibagi menjadi 2 jenis, yaitu Inveter
yang disebut gerbang NOT atau gerbang komplemen ( lawan ), sedangkan gerbang logika non-inverter sinyal keluaran sangat
tergantung oleh sinyal masukan dan gerbang logika yang dilaluinya ( NOT, AND,
OR, NAND, NOR, XO, XNO ).
DALIL BOOLEAN ;
1. X=0
ATAU X=1
2. 0
. 0 = 0
3. 1
+ 1 = 1
4. 0
+ 0 = 0
5. 1
. 1 = 1
6. 1
. 0 = 0 . 1 = 0
7. 1
+ 0 = 0 + 1 = 0
DAFTAR
PUSTAKA
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
About Me
- Kintanyulanda
- kintan yulanda, jakarta 27 juli 1993, | Informatics Engineering UG '11
2 komentar:
Ini ada File Wordnya gak?
Hii. Yah wordnya udah gak tau kemana hehe maaf ya. ��
Posting Komentar